Terminalbedingungen

Terminalbedingungen bezeichnen Bedingungen, die den Zustand eines Systems am Endzeitpunkt festlegen. Sie stehen im Gegensatz zu Anfangsbedingungen, die den Zustand zu Beginn eines Prozesses definieren. Terminalbedingungen treten in verschiedenen mathematischen und praktischen Kontexten auf, insbesondere bei Differential- und Differenzialgleichungen, Optimierungs- und Steuerungsproblemen sowie in der Finanzmathematik.

In der Mathematik und Physik dienen Terminalbedingungen dazu, den Wert der gesuchten Funktion am Endzeitpunkt T zu bestimmen. Typische Formen sind y(T) = y_T bei einer gewöhnlichen Differentialgleichung y'(t) = f(y,t) oder u(x,T) = u_T(x) bei einer partiellen Differentialgleichung. Terminalbedingungen können auch als Terminalzustand oder Terminalwert eines Systems verstanden werden, der zum Zeitpunkt T erreicht und berücksichtigt wird.

Im Bereich der optimalen Kontrolle spielen Terminalbedingungen eine zentrale Rolle. Hier wird oft der Endzustand x(T) vorgegeben oder eine Terminalkostenfunktion φ(x(T)) in die Zielfunktion integriert. Transversale oder Randbedingungen am Endzeitpunkt leiten sich daraus ab und beeinflussen die optimalen Steuerungsstrategien.

In der Finanzmathematik erscheinen Terminalbedingungen durch den Payoff am Verfallszeitpunkt. Zum Beispiel wird der Wert einer europäischen Option durch den Payoff g(S_T) am Termin T festgelegt, wobei der Rest des Modells den Verlauf bis zu diesem Punkt bestimmt. Solche Terminalbedingungen bilden die Randbedingung für Backward-Induktions- oder PDE-basierte Bewertungsverfahren.

Zusammengefasst dienen Terminalbedingungen dazu, den gewünschten Zustand oder Payoff am Endzeitpunkt festzulegen und die Lösung eines zeitabhängigen Problems eindeutig zu bestimmen. See also: Randbedingungen, Anfangsbedingungen, Transversalmethode.