Tensorformen

Tensorformen, im mathematischen Sprachgebrauch oft als multilineare Formen bezeichnet, sind multilineare Abbildungen T: V × … × V → F auf einem endlichen-dimensionalen Vektorraum V über dem Feld F. Ein solcher p-Tensorform gehört zum p-ten Tensorprodukt des Dualraums, (V*)^⊗p, und generalisiert damit lineare Formen (p = 1) sowie bilineare Formen (p = 2). Falls eine Tensorform T zusätzlich symmetrisch ist, spricht man von einer symmetrischen Tensorform; antisymmetrische Formen gehören zu den Differentialformen, also zu Λ^p(V*).

In einer Basis {e_i} von V und der zugehörigen Dualbasis {ε^i} lassen sich die Komponenten T_{i1…ip} durch T_{i1…ip} = T(e_{i1},…,e_{ip}) definieren. Dann gilt T(v1,…,vp) = Σ T_{i1…ip} v1^{i1} … vp^{ip}. Die Symmetrieeigenschaften der Form bestimmen die Struktur der Komponenten.

Anwendungen finden sich in Geometrie und Physik: Symmetrische Formen beschreiben oft Metriken bzw. inneren Produkten, während antisymmetrische Formen als Differentialformen auftreten und unter anderem in Integralsätzen verwendet werden. Operationen wie Kontraktion, Symmetrisation und Antisymmetrisierung ermöglichen Rechenverfahren innerhalb des Tensorraums und bilden die Grundlage weiterer Strukturen wie Tensoralgebra und Differentialgeometrie.

Zusammengefasst umfassen Tensorformen alle p-argumentigen multilinearen Abbildungen, deren Struktur durch Symmetrieklassen bestimmt wird; sie bilden eine zentrale Sprache zur Beschreibung geometrischer und physikalischer Größen. See also: Tensor, Differentialform, Tensoralgebra.