Teilchenverteilungsfunktionen

Teilchenverteilungsfunktionen beschreiben die statistische Verteilung von Teilchen in Phasenraum und liefern Beziehungen zu makroskopischen Größen. In der klassischen kinetischen Theorie ist die Funktion f(r,p,t) definiert, so dass dN = f(r,p,t) d^3r d^3p die Anzahl der Teilchen in einem infinitesimalen Phasenraumvolumen angibt. Die Verteilungsfunktion hängt von Ort r, Impuls p und der Zeit t ab und erlaubt die Bestimmung von Dichte, Strömung und Energie durch geeignete Momente: Dichte n(r,t) = ∫ f d^3p, Strömung j(r,t) = ∫ (p/m) f d^3p, Energie dichte ε(r,t) = ∫ (p^2/2m) f d^3p.

Die zeitliche Entwicklung wird durch die Boltzmann-Gleichung beschrieben: ∂f/∂t + (p/m)·∇_r f + F·∇_p f = C[f], wobei F ein äußeres Kraftfeld darstellt und C[f] den Kollisionsoperator enthält. In Abwesenheit von Wechselwirkungen reduziert sich die Gleichung auf eine Liouville-Form, bei der f entlang der Trajektorien transportiert wird.

Im Quantenbereich werden Verteilungsfunktionen oft als Quasi-Wahrscheinlichkeiten oder Besetzungszahlen betrachtet. In Gleichgewichtssystemen ergeben sich charakteristische Verteilungen: Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein oder Fermi-Dirac, je nach Statistik der Teilchen. In vielen Anwendungen wird auch der quasi-klassische Wigner-Funktionswert herangezogen, der die Quantenkorrekturen in einem Phasenraum-Ansatz erfasst.

Teilchenverteilungsfunktionen sind zentral für die Verbindung zwischen Mikrophysik und Makroskopik: Sie ermöglichen die Vorhersage von Transportprozessen in Gasen, Plasmen, Festkörpern und kosmischen Systemen und dienen als Grundlage für viele Modelle der Nichtgleichgewichtsthermodynamik.