TeichmüllerTheorien

Teichmüllertheorie (Teichmüller-Theorie) ist eine zentrale mathematische Theorie der komplexen Geometrie und der Dynamik, die sich mit der Struktur, Deformation und dem Moduli-Raum von Riemannschen Oberflächen befasst. Sie geht auf Oswald Teichmüller zurück, der in den 1930er Jahren grundlegende Konzepte entwickelte, darunter markierte Riemannsche Oberflächen und extremale quasikonforme Abbildungen.

Der zentrale Gegenstand ist der Teichmüller-Raum Teich(S) einer orientierbaren Oberfläche S mit Genus g und n markierten Punkten. Er besteht aus Äquivalenzklassen markierter Oberflächen (S, f), wobei zwei markierte Oberflächen durch eine konforme Abbildung, die die Markierung respektiert, als gleich gelten. Der Raum Teich(S) ist eine glatte Mannigfaltigkeit, deren reale Dimension 6g-6+2n beträgt und die eine natürliche komplexe Struktur der Dimension 3g-3+n trägt.

Eine zentrale Struktur ist die Teichmüller-Metrik, eine Finsler-Metrik, deren geodätische Wege durch extremale quasikonforme Abbildungen bestimmt werden. Diese Abbildungen entstehen aus nicht verschwindenden quadratischen Differentialen q auf S; ihre Dilatation entspricht der maximalen Deformation. Quadratische Differentiale liefern horizontale und vertikale Foliationen und bestimmen die Teichmüller-Abbildungen.

Der Moduli-Raum M_g ergibt sich als Quotient Teich_g / Mod(S), wobei Mod(S) die Mapping Class Group ist. Damit parametriert Teich_g die komplexen Strukturen, während der Quotient die äquivalenten Strukturen modulo Homöomorphismen identifiziert.

Teichmüller-Theorie hat enge Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie (Uniformisierung), zur Dynamik auf Moduli-Räumen (Teichmüller Fluss, Erdbebenfluss), zur Algebraischen Geometrie und zu Anwendungen in der Theorie flacher Oberflächen wie Translation- oder Flat Surfaces.