Summenbildung

Summenbildung bezeichnet den Vorgang, aus einer gegebenen Menge von Größen eine Gesamtsumme zu bilden. In der Mathematik gehört sie zur Grundoperation der Addition und wird durch das Summenzeichen Σ sichtbar gemacht. Die Summe kann endlicher oder unendlicher Natur sein und wird durch Indizes wie i oder k sowie obere und untere Schranken festgelegt.

Die gebräuchlichste Form ist die endliche Summe, geschrieben als Σ_{i=1}^n a_i, wobei n eine natürliche Zahl ist. Beispiele sind Σ_{i=1}^n i = n(n+1)/2 oder Σ_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6. Unendliche Summen, Σ_{i=1}^∞ a_i, treten in der Analysis auf; sie konvergieren oder divergieren je nach der Beschaffenheit der Folge a_i. Ein klassisches Beispiel ist die geometrische Reihe Σ_{k=1}^∞ (1/2)^k = 1. Die Konvergenz von unendlichen Summen hängt von speziellen Kriterien ab, etwa dem Betrag der Folgenglieder.

Wichtige Eigenschaften der Summenbildung sind Linearität und Skalierung: Σ_{i} (a_i + b_i) = Σ_{i} a_i + Σ_{i} b_i und Σ_{i} c·a_i = c·Σ_{i} a_i für konstanter Faktor c. In der Praxis dient die Summenbildung dazu, Mittelwerte zu berechnen (arithmetisches Mittel = Summe geteilt durch n), Ordnungs- und Mustererkennung in Datensätzen, sowie in der Analysis und Wahrscheinlichkeit zur Bestimmung von Reihen, Erwartungswerten und Varianzen.

Zu den verwandten Begriffen gehören kumulative oder laufende Summen, die Teilsummen über aufeinanderfolgende Glieder bilden und in der Informatik sowie der Datenanalyse häufig genutzt werden.