Stabilitätskriterien

Stabilitätskriterien sind Bedingungen oder Verfahren, die verwenden, um die Stabilität eines Systems zu beurteilen. Sie finden Anwendung in der Mathematik, der Regelungstechnik, der Mechanik und verwandten Bereichen. Typischerweise geht es darum zu entscheiden, ob sich eine Störung von einem Gleichgewichtspunkt aus zu einer ruhigen, begrenzten oder konvergenden Reaktion bewegt, oder ob sie zu unkontrollierbaren Abweichungen führt.

In dynamischen Systemen unterscheiden sich Stabilitätsbegriffe je nach Formulierung. Die Lyapunov-Stabilität beschreibt, dass Lösungen eines Systems nach einer Störung in der Nähe des Gleichgewichtsstücks bleiben. Asymptotische Stabilität bedeutet zusätzlich, dass sich die Zustände tatsächlich dem Gleichgewicht nähern, während exponenteielle Stabilität eine stärkere Form der Konvergenz kennzeichnet. Die direkte Lyapunov-Methode sucht nach einer geeigneten Lyapunov-Funktion V(x), deren Wert außerhalb des Gleichgewichts positiv ist und deren zeitliche Ableitung D V(x) negativ oder negativ definit ist.

In der Regelungstechnik kommen neben direkten Stabilitätskriterien auch frequenzbereichsbezogene Kriterien zum Einsatz. Das Nyquist-Kriterium verbindet die Stabilität des geschlossenen Regelkreises mit der Frequenzantwort des offenen Kreises und der Abzählung von Umkreisungen des -1-Punkts. Weiterhin gibt es Koeffizientenkriterien wie das Routh-Hurwitz-Kriterium für kontinuierliche Systeme, das aus den Koeffizienten der charakteristischen Gleichung Mindestforderungen ableitet, damit alle Eigenwerte negative Realteile haben. Für diskrete Systeme existieren ähnliche Tests, wie der Jury-Test.

In der Strukturmechanik und -dugung beziehen Stabilitätskriterien sich auf Knick- und Knickfaktoren, z. B. Euler-Knicks-Gesetz für Stäbe, sowie auf die Bestimmung kritischer Lasten durch Eigenwertanalysen der Steifigkeitsmatrix. Insgesamt dienen Stabilitätskriterien dazu, Verlässlichkeit und Vorhersagbarkeit von Systemantworten sicherzustellen.