Spannungstensors

Spannungstensoren, genauer der Spannungstensor (häufig als Cauchy-Spannungstensor bezeichnet), sind zentrale Größen der Kontinuumsmechanik, die die Verteilung innerer Kräfte in einem Medium beschreiben. Für eine Fläche mit Flächennormalenvektor n gilt die Traction t = σ · n, wobei t die auf die Fläche wirkende Kraft pro Flächeneinheit ist. In drei Dimensionen ist σ ein zweiter Ordnung Tensor, dargestellt durch die 3×3-Matrix σ = [ [σ_xx, σ_xy, σ_xz], [σ_yx, σ_yy, σ_yz], [σ_zx, σ_zy, σ_zz] ]. Unter normalen Voraussetzungen gilt σ_ij = σ_ji, sodass es sechs unabhängige Komponenten gibt.

Die Gleichgewichtsbeziehung im statischen Fall lautet ∂σ_ij/∂x_j + b_i = 0, mit b_i den Körperkräften. In der Dynamik erweitert sich dies zu ρ a_i = ∂σ_ij/∂x_j + f_i, wobei ρ die Dichte und a die Beschleunigung ist.

Materialgesetze koppeln Stress und Dehnung. In der linearen, isotropen Elastizität gilt z. B. σ_ij = λ ε_kk δ_ij + 2 μ ε_ij, mit ε_ij = 1/2(∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i) und u den Verschiebungen. Die Hauptspannungen ergeben sich als Eigenwerte von σ; die zugehörigen Richtungen sind Eigenvektoren.

Zusätzliche Konzepte umfassen den Deviator-Spannungsteil s_ij = σ_ij − (1/3) σ_kk δ_ij und Invarianten I1 = σ_kk, J2 = 1/2 s_ij s_ij. Anwendungen finden sich in Technik, Geophysik und Materialwissenschaft, insbesondere bei Festigkeits- und Versagenskriterien wie dem von Mises.