Spannungstensoren

Spannungstensoren sind mathematische Objekte in der Kontinuumsmechanik, die innere Kräfte innerhalb eines Materials beschreiben. Der Cauchy-Spannungstensor sigma ordnet einer Fläche mit Normalen n eine Traction t zu: t = sigma · n. Die Komponenten sigma_ij geben die i-te Komponente der Traction an, die auf eine Fläche senkrecht zur j-ten Koordinatenachse wirkt. Die Diagonalanteile sigma_xx, sigma_yy, sigma_zz heißen Normalspannungen; die Off-Diagonal-Komponenten sigma_xy, sigma_yz, sigma_zx sind Scherspannungen. Üblicherweise ist sigma symmetrisch (sigma_ij = sigma_ji), was aus dem Drehimpulserhaltungsgleichgewicht folgt, es sei denn, es liegen besondere Momentenspannungen vor.

Für große Verformungen kommen weitere Spannungsmaße zum Einsatz, z. B. die ersten Piola-Kirchhoff-Spannungen P, die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen S und die Kirchhoff-Spannung tau. Sie hängen über Deformationsgradient F und das Volumenveränderungsmaß J = det F zusammen. Typische Beziehungen: sigma = (1/J) F S F^T und P = J sigma F^{-T}.

In der linearen Elastizität beschreibt das Hooke-Gesetz den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung: sigma = C : epsilon, wobei C der Elastizitätstensor und epsilon der symmetrische Klein-Dehnungstensor ist. Die Spannungen besitzen Hauptwerte (Hauptspannungen), die als Eigenwerte von sigma bestimmt werden, sowie Invarianten, die in Materialgesetzen und Grenzlastannahmen verwendet werden.

Anwendungen finden sich in der Festigkeitslehre, der Strukturmechanik, der Materialcharakterisierung und der Finite-Elemente-Methodik.