Smithnormaalvorm

Smithnormaalvorm, vaak afgekort als SNF, is een diagonaliseringsvorm voor een integer matrix die wordt verkregen door linker- en rechtermultiplicatie door unimodulaire matrices. Voor een A ∈ Z^{m×n bestaan er U ∈ GL(m, Z) en V ∈ GL(n, Z) zodat UAV = D = diag(d1,...,dr,0,...,0), waarbij 0 ≤ r ≤ min(m,n), de di positieve getallen zijn en d1 | d2 | ... | dr. De diagonale diagonaal D is de Smithnormaalvorm van A. Unimodulair betekent dat de determinant van de matrix ±1 is.

Bestaat en is uniek: het bestaan van U en V wordt altijd bewezen; de getallen d1,...,dr zijn uniek (onder de eis d1 | d2 | ... | dr) en bepalen dus de SNF van A. Het aantal niet-zeros r is gelijk aan de Z-rang van A.

Interpretatie en toepassingen: SNF geeft inzicht in de structuur van relevante Z-modellen. Voor de afbeelding A: Z^n → Z^m levert de cokernel Z^m / Im(A) ≅ ⊕_{i=1}^r Z/d_iZ ⊕ Z^{m-r}. De getallen d_i vormen invarianten van A en bepalen bijvoorbeeld de torsiecoefficiënten van gerelateerde eindige abelsgroepen. De SNF onthult bovendien gcd-relaties: d1 = gcd van alle 1×1-minors, en d1…dk equals gcd van alle k×k-minors.

Berekening: SNF kan worden berekend via transformaties met unimodulaire matrices (rij- en kolomoperaties zoals rijen optellen, rijen verwisselen, rijen/kolommen vermenigvuldigen met -1). Moderne algoritmen lopen in polynomial tijd en maken gebruik van de euclidische algoritmen en gcd-relaties.

Voorbeeld: voor A = [[2,4],[6,8]] is de Smithnormaalvorm diag(2,4); er bestaan unimodulaire U, V met UAV = [[2,0],[0,4]].