Skattningsteori

Skattningsteori är en gren av statistiken som behandlar hur man gör inferenser om okända parametrar i en sannolikhetsmodell utifrån observerade data. Huvudmålet är att konstruera estimators som ger så tillförlitliga och effektiva gissningar som möjligt och att bedöma deras prestanda under olika antaganden och urval.

Inom den frequentistiska traditionen betonas egenskaper hos estimatorer såsom skevhetsfrihet, konsistens och effektivitet. Viktiga begrepp är sannolikhetsfördelningar, sannolikhetsfunktionen och maximum likelihood-estimering (MLE). Fisher-informationen mäter hur mycket data informerar om parametern, och Cramér–Rao-lättningen anger ett nedre gränsvärde på variansen hos unbiased estimatorer. Begrepp som sufficiens, Rao–Blackwell-teoremet och Lehmann–Scheffé-satsen beskriver hur man kan förbättra estimatorers prestanda. Exempel på estimatorer är MLE och andra likelihoodbaserade estimatorer.

Inom Bayesiansk skattning används priors och posteriorfördelningar. Bayes-estimatorer erhålls ofta genom beslutsteori, till exempel som posteriormedelvärdet eller som minimera posteriorförväntad risk. Denna ansats betonar helheten av parameterfördelningen och integrerar osäkerhet direkt.

Viktiga verktyg och begrepp inkluderar sufficiens, regularitetsvillkor, exponentiella familjer, identifiability och asymptotisk normalitet. Skattningsteori har breda tillämpningar inom ekonomi, biostatistik, ingenjörsvetenskap och maskininlärning. Den historiska utvecklingen sträcker sig från Fisher och den frequentistiska traditionen till Bayesiansk inferens och modern asymptotisk teori.