Signalrekonstruktion

Signalrekonstruktion ist der Prozess der Wiederherstellung eines Signals aus Messungen, die unvollständig, verrauscht oder verfälscht sind. In vielen Anwendungsfällen lässt sich das Originalsignal durch einen Messoperator beschreiben, sodass das gemessene Daten y als y = Ax + n modelliert wird, wobei A der Messoperator, x das unbekannte Signal und n das Rauschen ist. Die Aufgabe gehört zu den inversen Problemen und ist häufig ill-posed, da Informationen verloren gehen oder verrauscht sind.

Zu den klassischen Verfahren gehören Deconvolution, Denoising, Interpolation und Filtering, etwa der Wiener-Filter oder der Kalman-Filter. Regu larisierte Ansätze fügen eine Regularisierung R(x) hinzu und minimieren Kosten wie ||Ax - y||^2 + λR(x). Häufig eingesetzte Regularisierungen sind L2 (Tikhonov) und L1, letztere ermöglichen sparsame Repräsentationen. Transformationsbasierte Ansätze nutzen Wavelets oder DCT, um Signale in geeignete Domänen zu bringen. In Fällen mit wenigen Messungen kommt Compressive Sensing zum Einsatz, das sparsame Repräsentationen nutzt und L1-Minimization erfordert.

Iterative Algorithmen wie Conjugate Gradient, ISTA und FISTA führen die Optimierung schrittweise durch. Bayesianische Ansätze formulieren Rekonstruktion als MAP-Schätzung mit Priors auf x. Datengetriebene Ansätze verwenden Deep-Learning-Modelle, um Rekonstruktionen aus Trainingsdaten zu lernen, oft als Plug-and-Play- oder Hybridmethoden, die modellbasierte und datengetriebene Elemente kombinieren.

Anwendungen finden sich in der Audiotechnik, Medizinbildgebung (MRI, CT), Geophysik, Fernerkundung und Kommunikationstechnik. Die Qualität der Rekonstruktion wird anhand von Metriken wie PSNR, SSIM oder MSE bewertet. Herausforderungen umfassen Rauschen, Artefakte, Modellunvollständigkeiten und Rechenaufwand; aktuelle Ansätze kombinieren oft klassische Modelle mit datengetriebenen Ansätzen, um robuste Ergebnisse zu erzielen.