SemigruppenEigenschaft

Semigruppeneigenschaft bezeichnet die Eigenschaft einer Familie von Abbildungen oder Wahrscheinlichkeitskernen, Zeitaddition mit Funktionskomposition zu verknüpfen. Formal gilt für eine Familie (T_t) von Operatoren auf einem Banachraum X: T_0 ist die Identität und T_{t+s} = T_t ∘ T_s für alle t, s ≥ 0. Wenn zudem für jedes x ∈ X der Funktionswert t ↦ T_t x stetig ist, spricht man von einem C0-Semigroup (auch stetiges Semikonzept genannt).

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Semigruppen oft als Markov-Semigruppen bezeichnet. Hier handelt es sich um eine Familie von Operatoren P_t, die auf Funktionen definiert sind und die bedingte Erwartung eines Markovprozesses beschreiben. Sie erfüllen P_0 = Id, P_{t+s} = P_t P_s, erfüllen P_t ≥ 0 und P_t 1 = 1. Äquivalent lässt sich das Semigruppenprinzip über Wahrscheinlichkeitsmaße μ_t auf einer Lie-Gruppe G formulieren: μ_{t+s} = μ_t * μ_s, μ_0 = δ_e.

Beispiele zeigen die Breite des Konzepts: Der Heizemittenten (Heat-Semigroup) e^{tΔ} auf L^2(R^n) hat die Kernel-Familie K_t, wobei K_{t+s} = K_t * K_s; damit erfüllt die Familie T_t f = f * K_t das Semigruppenkriterium. Auch der Poisson-Semigroup e^{-t√{-Δ}} gehört dazu. In der diskreten Zeit gelingt die Semigroup-Eigenschaft durch T^{n+m} = T^n T^m.

Wesentlicher Unterschied zum Ganzenumsystem der Gruppen ist das Fehlen von Inversen: Im Allgemeinen existieren T_t für t > 0 nicht expandierbare Inverse, sodass T_{-t} nicht definiert ist. Semigruppen bilden daher die natürliche mathematische Struktur zur Beschreibung zeitlicher Evolution in PDEs, Diffusion und stochastischen Prozessen.