Scheitelpunkts

Der Scheitelpunkt ist in der Mathematik der Punkt des Graphen einer Funktion, an dem der Graph seine größte oder kleinste y-Koordinate im lokalen Umfeld erreicht. Bei einer allgemeinen Funktion f ist der Scheitelpunkt ein lokales Extremum (falls existent) und liegt typischerweise dort, wo f'(x) = 0 oder an einer Definitionslücke. Der zweite Ableitungstest gibt eine Aussage über die Art des Extremums: f''(x0) > 0 lokales Minimum, f''(x0) < 0 lokales Maximum, f''(x0) = 0 bleibt unentschieden.

Quadratische Funktionen: Bei y = ax^2 + bx + c liegt der Scheitelpunkt bei x0 = -b/(2a) und y0 = f(x0). In der Scheitelpunktform y = a(x-h)^2 + k ist der Scheitelpunkt (h,k) und die Achse der Symmetrie die Gerade x = h. Die Lage des Scheitelpunkts bestimmt das Erscheinungsbild der Parabel: a > 0 öffnet nach oben, a < 0 öffnet nach unten.

Allgemeine Eigenschaften: Der Scheitelpunkt markiert den höchsten bzw. niedrigsten Funktionswert im betrachteten Intervall und liegt oft an der Achse der Symmetrie der Funktion. Er lässt sich durch quadratische Ergänzung oder durch Transformation in die Scheitelpunktform erhalten, wobei Verschiebungen entlang der x- und y-Achse sichtbar werden.

Anwendungen: Der Scheitelpunkt spielt eine zentrale Rolle in der Kurvendiskussion, Optimierung und Regression, sowie in physikalischen Problemen der Bewegung, wo er etwa den Zeitpunkt oder Ort eines maximalen/minimalen Werts angibt.