Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform ist eine Darstellungsform quadratischer Funktionen. Eine Funktion der Form f(x) = a(x - h)^2 + k, mit a ≠ 0, trägt den Scheitelpunkt der Parabel an der Koordinate (h, k). Die Achse der Symmetrie ist die Gerade x = h, und die Parabel öffnet sich entsprechend dem Vorzeichen von a nach oben (a > 0) oder nach unten (a < 0).

Aus der Standardform y = ax^2 + bx + c lässt sich die Scheitelpunktform durch quadratische Ergänzung gewinnen. Dabei erhält man h = -b/(2a) und k = f(h) = c - b^2/(4a). Die Funktion kann also entweder direkt aus f(x) = a(x - h)^2 + k oder aus den Koeffizienten a, b, c bestimmt werden.

Die Scheitelpunktform interpretiert man als Transformation: Von einer Grundparabel y = ax^2 bewirkt eine Verschiebung um h nach rechts, eine Verschiebung um k nach oben und eine vertikale Streckung bzw. Stauchung um den Faktor a. Der Definitionsbereich ist ganz R; der Wertebereich hängt von a und k ab: bei a > 0 beginnt der Bereich bei k und erstreckt sich nach oben; bei a < 0 endet der Bereich bei k und erstreckt sich nach unten.

Anwendungen: Die Scheitelpunktform erleichtert das Ablesen des Scheitels, die Bestimmung der Achse der Symmetrie und das grafische Zeichnen sowie die Anpassung quadratischer Modelle an Daten.

Beispiel: f(x) = 2(x - 4)^2 + 1 hat Scheitelpunkt (4, 1) und öffnet nach oben.