Sandsynlighedsregningen

Sandsynlighedsregningen er en gren af matematik, der beskæftiger sig med modeller af tilfældighed og usikkerhed. Den søger at beskrive og kvantificere sandsynligheden for forskellige udfald af stokastiske eksperimenter og at forudsige mønstre i observationer. Moderne rammer hviler ofte på Kolmogorov-axiomerne, som giver en fælles, abstrakt grundlag for sandsynligheder. Oprindelsen går tilbage til 17. århundredes arbejde af Pascal og Fermat i studiet af spil og terningkast, videreudviklet af Bernoulli-familien; den formelle, aksiomatiske version kom med Kolmogorov i begyndelsen af det 20. århundrede.

Et grundlæggende sandsynlighedsrum består af et udfaldsrum Ω, en sigma-algebra F og en sandsynlighedsmåling P. En tilfældig variabel X er en funktion fra Ω til de reelle tal og beskriver et måleligt udbytte. Dens fordeling beskrives gennem en fordelingsfunktion eller gennem sandsynlighedsmasse eller tæthed. Centrale begreber omfatter uafhængighed, betinget sandsynlighed P(A|B) = P(A∩B)/P(B) (når P(B) > 0), samt forventning E[X] og varians Var[X].

Der skelnes mellem diskret og kontinuert sandsynlighedsregning. Mange fordelinger beskrives gennem sandsynlighedsmasse eller tæthed, og eksemplerne inkluderer Bernoulli, Binomial og Poisson (diskrete) samt Normal, Uniform og Exponential (kontinuerte). To vigtige resultater er Størrelsesloven (Law of Large Numbers), der beskriver konvergens af gennemsnittet for store prøver, og den Centrale Grænseværdisætning (Central Limit Theorem), der ofte fører til normalfordeling i summen af uafhængige variable.

Metoderne danner grundlag for statistik, risikovurdering, naturvidenskabelige simuleringer og dataanalyse i videnskab, teknik og finans. Forklaring og brug af sandsynlighed kan følge både frekventistiske og Bayesianske perspektiver, alt efter kontekst og formål. Samlet set giver sandsynlighedsregningen et fælles sæt værktøjer til modellering og forståelse af usikkerhed.