Ryhmäteoriassa

Ryhmäteoriassa on matematiikan ala, joka tutkii algebrallisia rakenteita nimeltään ryhmät. Ryhmä on joukko, johon on määritelty binäärinen operaatio, joka täyttää tietyt aksioomat. Nämä aksioomat ovat assosiatiivisuus, olemassaolo neutraalialkio ja olemassaolo käänteisalkion jokaiselle alkiolle. Ryhmäteoria on keskeinen osa abstraktia algebraa, ja sillä on sovelluksia monilla matematiikan ja luonnontieteiden aloilla.

Ryhmän operaatio yhdistää kaksi joukon alkiota tuottaen uuden alkion samasta joukosta. Assosiatiivisuus tarkoittaa, että operaation suoritusjärjestys ei vaikuta tulokseen, kun kolmea alkiota yhdistetään. Neutraalialkio on sellainen alkio, joka yhdistettynä mihin tahansa toiseen alkioon ei muuta tätä toista alkiota. Käänteisalkio jokaiselle alkiolle tarkoittaa, että jokaista alkiota kohden on olemassa toinen alkio, jonka kanssa se yhdistettynä tuottaa neutraalialkion.

Ryhmäteorian perustavanlaatuisia käsitteitä ovat muun muassa aliryhmät, normaalit aliryhmät, tekijäryhmät, homomorfismit ja isomorfismit. Aliryhmä on ryhmän osajoukko, joka muodostaa itsessään ryhmän. Homomorfismi on kuvaus kahden ryhmän välillä, joka säilyttää ryhmärakenteen. Isomorfismi on erityistapaus homomorfismista, jossa kuvaus on myös bijektiivinen.

Ryhmäteoriaa käytetään monilla aloilla, kuten lukuteoriassa, geometriassa, fysiikassa ja kemiassa. Esimerkiksi symmetrioiden kuvaamiseen fysiikassa ja kemiassa käytetään usein ryhmiä. Lukuteoriassa ryhmät auttavat ymmärtämään kokonaislukujen ja muiden lukujoukkojen rakenteita. Geometriassa ryhmät liittyvät symmetriamuunnoksiin.