lukujoukkojen

Lukujoukkojen käsite kuvaa joukkoa, jonka koko voidaan esittää yksi-yhden vastaavuudella luonnollisten lukujen kanssa. Toisin sanoen lukujoukko on joko äärellinen tai äärettömän mutta laskettavissa oleva; käytännössä on olemassa bijektio A ↔ N (tai A ↔ {1,...,n} jos A on äärellinen). Tämä määritelmä antaa kardinaalikäsitteen: lukujoukot ovat joko finite tai countably infinite.

Esimerkkejä lukujoukoista ovat naturaaliluvut N, kokonaisluvut Z sekä rationaaliluvut Q. Jokainen näistä on joko äärellinen tai laskettavissa oleva. Sen sijaan reaalilukujen joukko R ei ole lukujoukko; se on epäärellinen, eli suurempi kuin N kardinaalisuhteessa Cantorin todistuksen kautta.

Ominaisuudet: Äärellinen liitto on lukujoukko. Kahden lukujoukon liitto on lukujoukko; yleisemmin fuusio useammasta kuin yhdestä lukujoukosta on lukujoukko, kun liittojen määrä on lukujoukko itse. Finite union of countable sets on countable, ja jos A_n ovat lukujoukkoja ja indexijoukko on lukujoukko, niin Union_n A_n on lukujoukko.

Merkitys matematiikassa: lukujoukkojen käsite auttaa erottamaan kooltaan "pienemmät" joukko-osat suuremmista yksiköistä kuten R, ja se on keskeinen osa kardinaliteetin teoriaa sekä todistuksissa, joissa käytetään luotettavasti järjestettävyyksiä ja luettavuutta. Luokitteluun liittyvät klassiset tulokset osoittavat, että monet tärkeät esiintymät, kuten Z ja Q, ovat lukujoukkoja, kun taas R ei ole.