Ryhmäteoriaa

Ryhmäteoria on abstraktin algebran osa, joka tutkii ryhmiä. Ryhmä on pari (G, *) jossa G on joukko ja * on binäärinen operaatio, joka on assosiatiivinen, sisältää identiteetti-alkion ja jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Toisin sanoen a ∈ Glla on a^{-1} ∈ G niin, että a * a^{-1} = e = a^{-1} * a.

Esimerkkejä ryhmistä ovat (Z, +), jossa kokonaisluvut sulkeutuvat yhteenlaskussa ja operaatio on kompositio; (Q \ {0}, ·), ei-nollien rationaalilukujen kertolasku; sekä symmetriaryhmät S_n, joiden alkiot ovat n:n pisteen permutaatiot ja operaationa on koostaminen. Yleisessä merkitään invertible matriisien ryhmä GL(n, F) tai yleisesti matriisiryhmiä, joissa operaationa on matriisien kertolasku.

Keskeisiä käsitteitä ovat aliryhmä (alijoukko, joka on ryhmä itsessään operatiivisesti), normaalialiryhmä ja kertaryhmä sekä homomorfismi, isomorfismi ja automorfismi. Cayley’n teoreema toteaa, että jokainen ryhmä on isomorfinen jonkin ryhmän aliryhmän kanssa, ja Lagrangen lause määrää, että (finite) ryhmän alkioiden määrä jakaa ryhmän tilavuuden. Muita tärkeitä tuloksia ovat Sylow-teoreemat sekä ryhmien toimintojen, kuten group actioiden, tutkiminen orbitin ja stabilisaattorin kautta.

Ryhmäteoriaa sovelletaan laajasti: symmetrian ja geometrian tutkimukseen, lukuteoriaan, topologiaan ja algebralliseen geometriaan sekä kryptografiaan ja fysiikkaan. Se toimii myös perusrakenteena monissa muissa matemaattisissa teorioissa. Historiaan kuuluvat Galois, Cayley ja muut 1800-luvun matemaatikot, jotka kehittivät käsitteitä ryhmien tutkimiseen ja sovelluttamiseen.