Sylowteoreemat

Sylowteoreemat ovat joukko keskeisiä tuloksia finiittiryhmien rakenteesta, jotka koskevat p-primeihin liittyviä aliryhmiä, Sylow-p-aliryhmiä. Olkoon G finiittiryhmä ja |G| = p^n m, missä p on alkuluku ja p ei jakaudu m:iin. Tällöin G:llä on aliryhmä P, jonka järjestys on p^n; tätä P:tä kutsutaan Sylow-p-aliryhmäksi. Kaikki Sylow-p-aliryhmät ovat konjugoituvia toistensa kanssa, eli ne kaikki ovat samanlaisia G:n konjugointin välityksellä.

Toinen osa teoreemista antaa määrän Sylow-p-aliryhmien lukumäärästä. Olkoon n_p tämän p:stä Sylow-aliryhmien lukumäärä. Sitten n_p ≡ 1 (mod p) ja n_p jakaa m. Erityisesti, jos n_p = 1, Sylow-p-aliryhmä on normaali aliryhmä G:ssä.

Sylow-teoreemat antavat myös käytännön välineitä rakenteen tutkimiseen. Esimerkiksi ne kertovat, että yksittäisen p:n osan normaliteetti riippuu Sylow-p-aliryhmien lukumäärästä, ja konjugaatioaction avulla voidaan saada tietoa ryhmän joustavuudesta ja mahdollisista vaakasuunnista rakenteista. Teoreemat ovat keskeisiä myös ryhmien yksinkertaisuuden todistuksissa ja monien muiden rakennelaskujen lähtökohtana.

Esimerkissä S4:llä |S4| = 24. Sylow-2-aliryhmien järjestys on 8, ja niitä on 3 kappaletta (n_2 = 3, mikä on ≡ 1 mod 2 ja jaa 3:lla). Sylow-3-aliryhmiä on 4 (n_3 = 4, koska ≡ 1 mod 3 ja jaa 8:aan). Nämä esimerkit havainnollistavat teoreemien väitettyä konjugaatio- ja lukumääräominaisuutta.