normaalialiryhmä

Normaali aliryhmä, eli normaali aliryhmä, on ryhmän G aliryhmä N, joka on invariantti konjugaatioille: gNg^{-1} = N kaikille g ∈ G. Tämä tarkoittaa, että N on normaali ryhmä G:ssa; vasemmat ja oikeat kosetit ovat samat.

Merkinnässä N ◁ G tarkoittaa, että N on normaali ryhmä G:ssa. Tämän seurauksena voidaan muodostaa kertaryhmä G/N, jonka alkioita ovat kosetit aN (a ∈ G). Ryhmän operation määritellään (aN)(bN) = abN; identiteetti on eN = N ja käänteinen on (aN)^{-1} = a^{-1}N. Canonical projection π: G → G/N on ryhmohomomorfismi, jonka kernel on N; näin G/ker π ≅ im π = G/N.

Esimerkkejä: Abeliin ryhmiin kaikki aliryhmät ovat normaaleja. Esimerkiksi Z:ssa nZ on normaali aliryhmä kaikille n. S3:ssa A3 on normaali aliryhmä (indeksi 2). Subryhmä ⟨(12)⟩ ei ole normaali; sen konjugaatit ovat ⟨(13)⟩ ja ⟨(23)⟩.

Ominaisuudet: Normaali aliryhmiä pidetään sulkeutuvina perheenä: N1 ∩ N2 on normaali, kun N1 ja N2 ovat normaaleja; myös N1N2 on normaali. Jokaisella normaali ryhmällä on kertaryhmä G/N, ja this on keskeinen osa kertahomomorfian teoreemaa. Ensimmäinen isomorfiateoreema sanoo, että jos f: G → H on ryhmähomomorfismi, niin G/ker f ≅ im f; ker f on normaali.

Normaali aliryhmä on keskeinen käsite ryhmäteoriassa sen mahdollistamassa kertaryhmien rakentamisessa ja homomorfioiden analysoinnissa.