Ryhmäteoria

Ryhmäteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii ryhmiä, algebrallisia rakenteita, joissa on binäärinen operaatio. (G, ⋅) on ryhmä, jos kaikille a,b,c ∈ G pätee: a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c (associativity); on olemassa identiteetti e ∈ G siten, että e⋅g = g⋅e = g kaikille g ∈ G; ja jokaisella g ∈ G on käänteinen g^{-1} ∈ G, jolloin g⋅g^{-1} = e.

Keskeisiä käsitteitä ovat aliryhmät, H ⊆ G, jotka ovat ryhmiä itselleen; normaalialiryhmät N ⊲ G, joista muodostuu kertaryhmä G/N. Lagrangen teoreema finite-ryhmissä sanoo, että minkä tahansa ryhmän järjestys |G| on jaollinen minkä tahansa suljetun aliryhmän järjestyksellä. Homomorfismi f: G → H säilyttää kertolaskun: f(ab) = f(a)f(b). Isomorfismi on rakenteeltaan identtinen kuva, ja ryhmät katsotaan sama rakenne, jos ne ovat isomorfisia.

Esimerkkejä: Z lisäyksen alla on ääretön sykli-ryhmä; Z_n = {0,1,…,n−1} on lopullinen sykli-ryhmä. S_n on kaikkien permutaatioiden ryhmä ja D_n dihedraaliryhmä, joka kuvaa n-kulman symmetrioita. Monet ryhmät ovat kommutatiivisia, eli a⋅b = b⋅a kaikille a,b.

Ryhmäteoria on keskeinen väline muun muassa geometrian, lukuteorian sekä fysiikan ja tietotekniikan sovelluksissa. Ryhmien toimintojen tutkimus johtaa teoreemoihin kuten orbit-stabilizer-teoreema sekä edustusteoria, joiden avulla ryhmien rakennetta voidaan kuvata lineaarisesti tai combinatorisesti.