kommutatiivisia

Kommutatiivisuus on binäärisen operaation ominaisuus, jossa järjestyksen vaihtaminen ei vaikuta tulokseen: a * b = b * a kaikille a ja b joukossa S. Tämä pätee, kun operaatio on määritelty kaikille parille. Jos joukossa on useita operaatioita, kommutatiivisuudesta puhutaan vain tietyllä operatorilla.

Tyypillisiä esimerkkejä ovat luvuille määritetyt lisäys ja kertolasku. Kokonaislukujen, reaali- ja kompleksilukujen lisäksi näitä operaatioita ovat myös useat joukko-operaatiot, kuten union ja leikkaus, jotka ovat yleisesti kommutatiivisia. Toisaalta ei-usein kommutatiivinen on esimerkiksi matriisien kertolasku: yleisesti A·B ≠ B·A.

Kommutatiivisuus esiintyy laajoissa rakenteissa. Abelian ryhmä on ryhmä, jonka operaatio on kommutatiivinen. Kommutatiivinen rengas (eli commutative ring) on rengas, jonka kertolasku on kommutatiivinen; tällaisia rakenteita ovat esimerkiksi luvut mod n tai polynomirengas with coefficients in a commutative ring. Kentät ovat yleensä sekä additiivisesti että multiplicatiivisesti kommutatiivisia, mikä tekee niistä tavanomaisia esimerkkejä kommutatiivisista rakenteista.

Ei-kommutatiivisuus ei kuitenkaan ole poikkeus: monien algebrallisten rakenteiden, kuten yleisten matriisirengas- ja gl_n-luokkien, ominaisuudet perustuvat juuri siihen, että kertolasku ei ole yleisesti commutative. Kommutatiivisuus on keskeinen käsite algebrassa, sillä se vaikuttaa voisiko rakenteen teoriat ja laskutoimitukset suorittaa helpommin ja miten rakenne luokitellaan.