käänteisalkion

Käänteisalkio on käsite algebraalisessa rakenteessa, jossa määritellään binäärinen operaatio. Sille on olemassa alkio a^(-1) eli käänteisalkio, jos kyseisellä rakenteella on identiteetti e sellaiselle, että a * a^(-1) = a^(-1) * a = e. Käänteisalkiota merkitään usein a^(-1). Jos tällainen a^(-1) löytyy, se on yksikäsitteinen.

Ryhmäkäsitteessä (G, *) jokaisella alkiolla on käänteisalkio, ja dermed operaatio on sellainen, että a * a^(-1) = a^(-1) * a = e kaikille a ∈ G. Tällöin a^(-1) on a:n käänteisalkio. Ominaisuus on keskeinen: inversi on yksikäsitteinen, ja (ab)^(-1) = b^(-1) a^(-1).

Käytännön esimerkkejä:

- Z, +: identiteetti on 0, käänteisalkio (lisä) of n on -n.

- Z_n, + mod n: identiteetti on 0, käänteisalkio of a on n − a (mod n).

- R \ {0}, ×: identiteetti on 1, käänteisalkio of x on 1/x. Tämä muodostaa ryhmän.

- Z under × ei ole ryhmä, sillä monilla alkioilla ei ole käänteisalkioa (esim. 2 ei ole käänteisalkio Z:ssä).

Laajemmin käänteisalkioita tarkastellaan renkaissa ja monoidissa siten, että kiinteät "yksiköt" (unitit) ovat ne alkiot, joilla on käänteisalkio. Kenties tunnetuin esimerkki on, että kentässä jokaisella ei-nollalla on käänteisalkio multiplicatiivisesti.