Aliryhmä

Aliryhmä tarkoittaa ryhmän G alaosaa, joka muodostaa itsenäisen ryhmän samalla operaatiossa. Käytännössä H on aliryhmä G:stä, jos H on ei-tyhjä ja sulkee operaation: jos a ja b kuuluvat H:hon, niin myös ab kuuluu H:hon, ja jos a kuuluu H:hon, niin myös kääntöa = a^{-1} kuuluu H:hon. H voidaan merkitä H ≤ G tai H ⊆ G ja H pitää olla aliryhmä.

Aliryhmän tunnusmerkkeihin kuuluu, että sen ominaisuudet säilyvät G:n rakenteessa. Esimerkiksi identiteetti e on H:n elementti, ja H on sulkuinen sekä päättelymäärältään vakiintunut. Kun G on äärellinen, voidaan usein tarkastella aliryhmän kokoa suhteessa G:hen; Lagrangen teoreema sanoo, että |H| jakaa |G|. Intersektion sekä yhdiste voidaan käsittää aliryhmien kontekstissa: H ∩ K on aliryhmä, ja toisaalta HK voi olla aliryhmä tietyissä olosuhteissa, esimerkiksi jos H tai K on normaaliryhmä.

Nimitys normaalisuus, H ◁ G, on erityisen tärkeä: jos H on normaalinen, muodostuu nimittäjäryhmä G/H, joka on myös ryhmä. Tämä mahdollistaa kertaus- tai kvotioryhmien rakentamisen ja cosettien analyysin.

Esimerkkejä: Z kokonaisluvut muodostavat ryhmän ADDIOTIO -lajissa, ja tavalliset aliryhmät kuten nZ Z:ssä tai {0} ovat aliryhmiä. Yleisiä esimerkkejä ovat aliryhmät missä G on abelilainen tai intressivaltaiset ryhmät. Aliryhmät ovat keskeinen käsite ryhmäteoriassa sekä käytännön sovelluksissa, kuten symmetrioiden ja monimutkaisten rakenteiden analyysissä.