Rotationsdarstellung

Rotationsdarstellung bezeichnet in Mathematik und Physik die Darstellung der Rotationsgruppe SO(3) bzw. deren Doppelabdeckungen (insbesondere SU(2)) als lineare Abbildungen auf einem Vektorraum. Eine solche Darstellung besteht aus einer Homomorphie ρ von der Rotationsgruppe in die Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen eines Vektorraums V. In der Praxis sucht man oft irreduzible Darstellungen, die sich nicht weiter in kleinere Darstellungen zerlegen lassen.

Für SO(3) existieren die irreduziblen Darstellungen mit j-Label, wobei j ein nichtnegativer ganzzahliger Wert ist. Die Dimension der Darstellung beträgt 2j+1. Für SU(2), das als Doppelabdeckung von SO(3) dient, erscheinen zusätzlich halbeinfachte Werte j ∈ {1/2, 3/2, ...}. Die Generatoren der Lie-Algebra so(3) heißen Jx, Jy, Jz und erfüllen die Kommutatorrelationen [Ji, Jj] = i εijk Jk. Rotationen R(n̂, θ) lassen sich schreiben als R(n̂, θ) = exp(-i θ n̂ · J).

In einem gewählten Basis, typischerweise der Jz-Ebene, tragen die Basisvektoren die Labels m ∈ {-j, ..., j}. Die Matrixelemente der Darstellung sind die Wigner-D-Funktionen D^j_m,m'(R) und hängen von Euler-Winkeln ab. Praktisch verwendet man oft die Parameterisierung R = Rz(α) Ry(β) Rz(γ) und die entsprechenden D^j_m,m'(α,β,γ).

Anwendungen treten in der Quantenmechanik (mehr als Operatoren des ganharesang), in der Theorie der Kugelflächentensoren und der Auswertung von Kugelflächenfunktionen Y_l^m hervor. Wichtige Beispiele sind der j=1-Vektorraum (dreidimensionale Vektorrotation) und der j=1/2-Spinorraum (Spinorsysteme); letztere entsprechen einer doppelten Abdeckung von SO(3) und werden durch SU(2) repräsentiert. Gegenüberliegende Eigenschaften, wie die vollständige Zerlegbarkeit endlicher Darstellungen in irreduzible Komponenten, gelten für kompakte Lie-Gruppen wie SO(3) und SU(2).