Resonanskurven

Resonanskurven är en graf som visar hur ett dynamiskt system svarar på en drivande signal när drivfrekvensen varierar. Ofta visas frekvensen på x-axeln och responsen på y-axeln, vanligtvis som en amplitud- eller effektförhållande mellan inmatning och utgång. Kurvan har vanligtvis en topp nära systemets resonansfrekvens och toppens bredd påverkas av dämpningen.

Mekanisk enkeltdof-system: m x'' + c x' + k x = F0 cos(ωt). Transferfunktionen mellan kraft och förskjutning är X(jω)/F0 = 1/(k - m ω^2 + j c ω). Amplituden är |X(jω)| = F0 / sqrt((k - m ω^2)^2 + (c ω)^2). Naturliga frekvensen ωn = sqrt(k/m). Dämpningsfaktorn ζ = c/(2 sqrt(k m)). För små ζ framträder en tydlig resonans i ω nära ωn. Om ζ < 1/√2 uppstår en topp vid ωr ≈ ωn sqrt(1 - 2 ζ^2). Kvalitet Q = ωn m / c ≈ 1/(2ζ).

Elektriska kretsar: i en seriekopplad RLC-krets uppträder resonans vid ω0 = 1/√(LC). Strömens magnitud I(ω) = V0 / sqrt(R^2 + (ωL - 1/(ωC))^2). Resonansens starkhet och kurvans bredd styrs av Q-faktorn, vanligtvis Q ≈ ω0 L / R = 1/R sqrt(L/C). Bandbredden Δω ≈ ω0 / Q (−3 dB).

Användning: resonanskurven används för att identifiera naturliga frekvenser och dämpning i maskiner, byggnader, instrument och elektronik. Den underlättar dimensionering och diagnostik, till exempel genom att avgöra vilka frekvenser som bör undvikas eller förstärkas och hur dämpning påverkar systemets respons.