Rechteckfunktionen

Rechteckfunktionen bezeichnen eine Familie von Funktionen, die auf einem Intervall gleich 1 und außerhalb gleich 0 sind. Die bekannteste Darstellung ist die Rechteckfunktion rect(t). Sie ist definiert durch rect(t) = 1 für -1/2 ≤ t ≤ 1/2, und rect(t) = 0 außerhalb dieses Intervalls. In einigen Konventionen werden die Randpunkte mit 1/2 gewertet. Für eine allgemeine Breite τ wird rect(t/τ) verwendet: rect(t/τ) = 1 für |t| ≤ τ/2, sonst 0.

Eine kompakte Darstellung nutzt die Heaviside-Stufenfunktion: rect(t/τ) = u(t+τ/2) − u(t−τ/2), wobei u der stufige Anstieg ist. Damit lässt sich der Pulse als Differenz zweier Halbrahmen darstellen.

Im Frequenzbereich besitzt die Rechteckfunktion eine charakteristische Form: F{rect(t/τ)}(f) = τ sinc(f τ), mit sinc(x) = sin(π x)/(π x). Diese Relation veranschaulicht, dass ein schmaler Zeitpuls breite Frequenzinhalte besitzt und umgekehrt. Im Fall von t-abhängigen Signalen gilt dieselbe Form mit der entsprechend gewählten Transformationskonvention, einschließlich der Abhängigkeit von τ.

Anwendungen: In der Signalverarbeitung dient das Rechteck als vereinfachtes Modell eines zeitlich begrenzten Puls, als Fensterfunktion bei der Analyse von Signalen, beim Sampling, der Pulsformung in der digitalen Kommunikation sowie als Baustein für Fenster- und Filterdesign.