Randverteilung

Randverteilung, auch marginale Verteilung genannt, bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitsrechnung die Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen innerhalb eines mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsraums. Sie wird erhalten, indem man alle anderen Variablen aus dem gemeinsamen Verteilungsmodell entfernt, das heißt integriert oder summiert. Für zwei Zufallsvariablen X und Y mit einer gemeinsamen Dichte f_{X,Y} gilt die Randdichte von X als f_X(x) = ∫_{-∞}^{∞} f_{X,Y}(x,y) dy. Bei einer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion p_{X,Y} im diskreten Fall lautet die Randverteilung von X: P(X = x) = ∑_y P(X = x, Y = y).

Die Randverteilung bestimmt die Verteilung allein der betrachteten Variable. Die zugehörige Verteilungsfunktion ist F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^{x} f_X(t) dt im kontinuierlichen Fall bzw. F_X(x) = ∑_{t ≤ x} p_X(t) im diskreten Fall.

Beziehung zu Abhängigkeiten: X und Y sind unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilung als Produkt der Randverteilungen zerfällt, d. h. f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) bzw. p_{X,Y}(x,y) = p_X(x) p_Y(y). Randverteilungen werden genutzt, um das Verhalten einzelner Merkmale zu analysieren, beispielsweise in multivariaten Modellen, Datenexploration oder bei der Modellierung von Rauschen; sie sind Voraussetzung für viele Schätz- und Inferenzverfahren.

Beispiel: Sei X,Y ≥ 0 mit gemeinsamer Dichte f_{X,Y}(x,y) = e^{-(x+y)} für x,y ≥ 0. Dann ist f_X(x) = ∫_0^∞ e^{-(x+y)} dy = e^{-x} für x ≥ 0; damit ist X exponentialverteilt, während Y ähnlich verteilt ist. So zeigen Randverteilungen, wie sich die Wahrscheinlichkeiten einer Variable unabhängig von der anderen darstellen.