RandomInterceptModelle

RandomInterceptModelle, oder gemischte Modelle mit zufälligem Intercept, sind statistische Modelle für hierarchische oder gruppierte Daten. Sie erlauben, dass der Intercept in jeder Gruppe j variiert, während die Steigungen der Prädiktoren typischerweise als fest festgelegt gelten. Das Modell lässt sich üblicherweise so schreiben: y_ij = β0 + b0_j + ∑_k β_k x_k,ij + ε_ij, wobei b0_j ~ N(0, τ^2) den gruppenspezifischen Zufallsintercept und ε_ij ~ N(0, σ^2) die Residuen darstellt.

Der zufällige Intercept erfasst unbeobachtete, gruppenspezifische Heterogenität und ermöglicht es, Abhängigkeiten innerhalb von Gruppen zu berücksichtigen. Dadurch werden schätzende Effekte der festen Parameter oft unverzerrter und die Standardfehler robuster gegenüber dem Gruppenstruktur-Signal.

Die Modellschätzung erfolgt typischerweise via Maximum Likelihood oder Restricted Maximum Likelihood (REML); in bayesischen Ansätzen werden Posterior-Verteilungen via MCMC geschätzt. Wichtige Annahmen sind Normalität der Zufalls_effekte, Unabhängigkeit zwischen Zufalls_Effekten und Residuen sowie Homoskedastizität der Residuen; außerdem muss die Gruppierungsstruktur korrekt angegeben sein.

Ein zentrales Maß ist der intraclass correlation coefficient (ICC) = τ^2 / (τ^2 + σ^2), der den Anteil der Varianz auf Gruppenebene beschreibt. Random-Intercept-Modelle eignen sich gut für Bildungs- und Gesundheitsdaten, Längsschnittdaten und andere hierarchische Strukturen.

Erweiterungen umfassen random slopes (Varianz der Steigungen über Gruppen), mehrstufige (nested) oder quera-klassifizierte Strukturen, sowie Modelle mit mehreren zufälligen Effekten. Softwarepakete wie lme4 oder nlme in R, SAS PROC MIXED, oder Stata's mixed unterstützen diese Modelle; Modellvergleiche erfolgen oft über ML- oder REML-Infos Kriterien, Likelihood-Ratio-Tests oder AIC/BIC.