Rahmenfeldern

Rahmenfelder sind in der differenzialgeometrie glatte Zuordnungen, die jedem Punkt einer glatten Mannigfaltigkeit M eine geordnete Basis des Tangentialraums T_pM zuordnen. Formal bestehen sie aus n Vektorfeldern e1, …, en, die an jedem Punkt p linear unabhängig sind und deren Werte sich glatt in p ändern. Wird M zusätzlich von einer Metrik g getragen, spricht man von einem orthonormalen Rahmenfeld, bei dem die Basisvektoren zueinander orthonormal sind. Rahmenfelder beschreiben damit die lokale Orientierung des Tangentialraums.

Existenz und Obstruktionen: Ein globales Rahmenfeld existiert genau dann, wenn der Tangentenbündel von M trivialisierbar ist. In zwei Dimensionen orientierbare Flächen besitzen ein globales Rahmenfeld, wenn die Eulercharakteristik chi(M) gleich Null ist. Allgemein treten Obstruktionen in den Stiefel-Whitney- und Pontrjagin-Klassen des Tangentialbündels auf und verhindern globale Rahmenfelder.

Anwendungen: In der Physik erscheinen Rahmenfelder als Tetraden, die lokale inertiale Rahmen angeben und die Verbindung zwischen gekrümmtem Raum und lokalen Beobachterfeldern herstellen. In der Computergrafik und der Netzgeometrie dienen Rahmenfelder dazu, Oberflächen-Netze zu gestalten, etwa quadrilaterale oder hexagonale Netze, indem man ein glattes Rahmenfeld-Layout entwirft, das Orientierung und Glattheit der Netze beeinflusst. Dabei treten häufig singuläre Defekte auf, die kontrolliert werden.

Berechnung und Konstruktion: Rahmenfelder lassen sich lokal bestimmen und global durch Übergangsfunktionen zusammenfügen; numerische Ansätze verwenden Energie-Funktionale, um Glattheit, Konsistenz und Ausrichtung zu optimieren. Diskretisierungen auf Netzen liefern per Knoten oder Flächen definierte Frames.

Beispiele: Auf dem Torus existieren globale orthonormale Rahmenfelder, da der Tangentenbündel trivial ist. Auf der Sphäre S^2 ist dies nicht möglich (Hairy Ball Theorem). Die Theorie reicht von abstrakten Objekten der Diffeomorphismen bis zu praktischen Anwendungen in der Geometrieverarbeitung und der Physik.