Quotientenräumen

Quotientenräume, im Plural Quotientenräume, bezeichnen in der Mathematik eine Konstruktion, mit der man Elemente eines Raums identifiziert, indem man eine Äquivalenzrelation darauf verwendet. Der Grundaufbau erfolgt in der Regel in der Topologie: Gegeben sei ein topologischer Raum X und eine Äquivalenzrelation ~ auf X. Die Quotientenmenge X/~ besteht aus den Äquivalenzklassen [x] = {y ∈ X : y ~ x}. Diese Menge wird mit der Quotiententopologie versehen, die durch die Projektion π: X → X/~ definiert ist, x ↦ [x]. Eine Teilmenge U ⊆ X/~ ist genau dann offen, wenn π^{-1}(U) offen in X ist. Die Abbildung π heißt Quotientenabbildung oder Projektion und ist surjektiv und stetig. Der Raum X/~ wird genau dann „durch Identifizieren“ der Äquivalenzklassen erhalten.

Universelles Eigenschafts- bzw. Faktorisierungsprinzip: Sei Y ein weiterer topologischer Raum und f: X → Y eine Funktion, die konstant auf Äquivalenzklassen ist (das heißt, f(x) = f(y) für alle x ~ y). Dann existiert eindeutig eine stetige Funktion g: X/~ → Y mit f = g ∘ π. Umgekehrt liefert jede stetige Funktion g: X/~ → Y eine solche Faktorisierung. Diese Eigenschaft macht Quotientenräume zu einer nützlichen Möglichkeit, Funktionen zu faktorisieren, die auf identischen Klassen denselben Wert nehmen.

Beispiele und Anwendungen: Durch Identifikation der Endpunkte eines Intervalls [0,1] erhält man den Kreis S^1; durch Identifikation gegenüberliegender Kanten des Quadrats entsteht der Torus; Quotientenräume werden außerdem verwendet, um Räume wie den projektiven Raum RP^n zu konstruieren. In der Analysis und Linearen Algebra erscheinen Quotientenräume X/Y, wobei Y Unterraum von X ist; hier erhält man einen Vektorraum X/Y mit der Quotientenstruktur, und bei abgeschlossenen Y auch eine passende Normstruktur.