Quasisperiodisch

Quasisperiodisch beschreibt in Mathematik und Physik eine Funktion oder Bewegung, die sich zwar wiederholt, aber nicht streng periodisch ist. Eine gängige Form ist eine endliche Summe von sinus- oder cosinus-Terminen mit Frequenzen, die zueinander unabstimmbar sind. Formal lässt sich f(t) = ∑_{k=1}^n A_k cos(ω_k t + φ_k) darstellen, wobei die Frequenzen ω_k rational unabhängig sind; das bedeutet, keine nichttriviale Linearkombination ∑ m_k ω_k mit ganzen Zahlen m_k ergibt Null.

In der Dynamik bedeutet Quasisperiodizität oft, dass sich Zustände auf einem Torus entwickeln: θ_i(t) = θ_i(0) + ω_i t, i = 1,...,n, wobei die ω_i unabhängig voneinander sind. Sind die Verhältnisse ω_i/ω_j irrational, ist die Trajektorie dicht auf dem n-Torus und wiederholt sich nie exakt. Unter bestimmten Voraussetzungen bleiben solche quasi-periodischen Strukturen auch bei kleinen Störungen erhalten, wie es in der KAM-Theorie beschrieben wird.

Beispiele umfassen Signale wie sin(t) + sin(√2 t), das quasisperiodisch ist, sowie Bewegungen auf einem Torus mit mehreren incommensurablen Frequenzen. Quasisperiodizität ist oft eine ideale Modellierung für Systeme mit mehreren, nicht harmonisch zueinander passenden Bewegungen oder Phasen.

Verhältnis zu verwandten Begriffen: Quasisperiodische Funktionen sind ein Spezialfall der fastperiodischen Funktionen, aber nicht alle fastperiodischen Funktionen sind quasisperiodisch. Das Konzept findet Anwendung in Signalverarbeitung, Festkörperphysik, Himmelsmechanik und der Theorie dynamischer Systeme, wo das Verständnis von Wiederholungen ohne genaues Periodenmaß wichtig ist.