Quasipériodique

Quasipériodique désigne, en mathématiques et en sciences, un phénomène ou une fonction présentant des motifs récurrents sans être strictement périodique. Plus précisément, un signal ou une fonction est quasipériodique s’il peut être exprimé comme une somme finie de composantes périodiques dont les fréquences sont mutuellement incommensurables, c’est-à-dire que leurs rapports ne sont pas rationnels.

Dans le cadre des fonctions temporelles, on peut écrire f(t) = sum_{k=1}^n A_k cos(2π ω_k t + φ_k), où les ω_k sont linéairement indépendants sur les rationnels. La dynamique t → (ω_1 t, ω_2 t, ..., ω_n t) mod 2π décrit une trajectoire sur un tore; si les ω_k sont incommensurables, cette trajectoire est dense et ne se répète jamais exactement.

Différence avec le périodique: une fonction périodique f vérifie f(t+T)=f(t) pour un certain T>0, alors qu’une fonction quasipériodique ne possède pas de période unique et ne se répète pas exactement, mais elle conserve une régularité et une structure récurrente.

Exemples et domaines: une somme de deux sinusoïdes de rapports de fréquences irrationnels, par exemple sin t + sin(√2 t), est quasipériodique. Dans l’optique et la crystallographie, les tilings quasiperiodiques (comme le pavage de Penrose) montrent une organisation à longue portée sans translationalité; les quasi-cristaux présentent également des propriétés quasipériodiques.

Applications: analyse du signal, dynamical systems, physique des matériaux et étude des motifs ordonnés sans périodicité. Voir aussi les notions d’almost periodicité et de tilings quasipériodiques.