irrationnels

Les irrationnels, ou nombres irrationnels, désignent les nombres réels qui ne peuvent pas être exprimés comme le rapport de deux entiers. Autrement dit, ils ne s’écrivent pas sous la forme p/q avec p et q entiers et q non nul. Dans leur écriture décimale, ces nombres n’ont pas de fin et ne présentent pas de motif répétitif.

Exemples typiques: la racine carrée de 2 (√2), π et e. √2 est irrationnel et a été démontré par une preuve par contradiction attribuée aux anciens Grecs. π et e sont des irrationnels célèbres: leur décomposition décimale ne se termine pas et ne se répète pas, et ils jouent un rôle central en géométrie et en analyse.

Catégorisation: les irrationnels algébriques sont les solutions de polynômes non nuls à coefficients entiers, comme √2 ou la racine cubique de 3. Les irrationnels transcendantaux ne sont pas racines de tels polynômes; π et e appartiennent à cette classe.

Propriétés: les rationnels sont denses dans les réels, tout intervalle réel contient des rationnels et des irrationnels. L’ensemble des irrationnels est non dénombrable et leur présence est quasi certaine dans les réels: ils forment une grande majorité par rapport aux rationnels.

Histoire et contexte: la démonstration de l’irrationalité de √2 est l’une des plus anciennes preuves mathématiques. Les irrationnels jouent un rôle fondamental en théorie des nombres, en analyse et en géométrie, et ils complètent l’ensemble des nombres réels.