Projektiondichte

Die Projektiondichte ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik die Wahrscheinlichkeitsdichte der Projektion eines mehrdimensionalen Zufallsvektors X auf eine feste Richtung u. Ist X in R^d mit einer gemeinsamen Dichte f_X versehen, dann ist Z = u^T X eine univariate Zufallsvariable mit Dichte f_Z, die als Marginalverteilung von X in Richtung u entsteht. Formal lässt sich f_Z wie folgt ausdrücken: f_Z(z) = ∫_{u^⊥} f_X(z u + y) dμ(y), wobei y über die (d−1)-dimensionale Ebene orthogonal zu u läuft und μ das entsprechende Lebesgue-Maß ist.

Wichtige Spezialfälle und Eigenschaften: Wenn X ~ N(0, Σ) ist, dann folgt Z ~ N(0, u^T Σ u). Für Σ = I gilt Var(Z) = 1, sofern ||u|| = 1. Existenz und Regularität von f_Z hängen von f_X ab: Ist X dichte, so besitzt Z eine Dichte; ansonsten existiert f_Z als Verteilung. Die Projektiondichte entspricht der Verteilung von Z = u^T X; sie ist damit die Marginalverteilung in Richtung u. Sie ist eng mit dem Radon-Transform verbunden, das Integrale über Hyperflächen erfasst.

Anwendungen: Sie spielt eine zentrale Rolle in der Projektionstheorie, der Dimensionalitätsreduktion, der Projektion-Pursuit und in der medizinischen Tomographie, wo Informationen aus linearen Projektionen gewonnen werden. In der Praxis dienen Projektiondichten dazu, Strukturen in multivariaten Daten zu identifizieren, indem die Verteilung in verschiedenen Richtungen verglichen wird.