Produktverteilungen

Produktverteilungen bezeichnen die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Produkts mehrerer Zufallsvariabler. Typisch wird untersucht, wie sich der Zufallswert Z = X1 · X2 · ... · Xn ergibt, wenn die Xi unabhängig oder zumindest stochastisch verbunden sind. Solche Verteilungen treten auf, wenn sich Einflüsse multiplicativ zu einem Gesamtergebnis zusammenfügen, etwa bei kumulativen Renditen, Produktivitätseffekten oder Zuverlässigkeitsmodellen mit multiplikativem Fehler.

Bei positiven Zufallsvariablen lässt sich Z durch eine Transformation gut analysieren. Setzt man Ui = ln(Xi) und Z = exp(∑ Ui), so wird die Verteilung von Z zur Verteilung der Exponential von der Summe der Ui. Falls die Xi unabhängig sind, wird die Verteilung von ∑ Ui durch Faltungsoperationen der Ui-Verteilungen bestimmt. In Dichtenschreibweise ergibt sich für zwei Variablen fZ(z) = ∫ fX(z/y) fY(y) (1/|y|) dy, wobei z im jeweiligen Träger von Z liegt. Generalisiert man auf n Variablen, verwendet man meist die Log- oder Mellin-Transformen (Mellin-Transform MZ(s) = ∏ Mi(s)).

Spezialfälle: Wenn alle Xi lognormal verteilt sind, ist Z erneut lognormal. Andere Produktverteilungen, wie das Produkt unabhängiger Gamma-Variabler, besitzen meist keine Standardform und werden numerisch oder via Transformmethoden beschrieben.

Anwendungen finden sich in der Finanzmathematik (zusammengefasste Renditen), in der Zuverlässigkeitstechnik, in der Physik sowie in der Signalverarbeitung, wo multiplikative Störungen auftreten. Häufig bleiben geschlossene Formen rar, so dass Monte-Carlo-Simulationen oder numerische Integration in der Log-Domäne eingesetzt werden.