Positionsfunktionen

Positionsfunktionen beschreiben die Position eines bewegten Objekts als Funktion der Zeit. Sie werden häufig mit s(t) für skalare Positionen in einer Richtung oder mit r(t) für vektorielle Positionen im Raum bezeichnet. Die Funktion ordnet jedem Zeitpunkt t einen Ort im Raum zu und hängt von einem gewählten Koordinatensystem bzw. Referenzrahmen ab.

Mathematisch gilt, dass die erste Ableitung der Positionsfunktion die Geschwindigkeit ist: v(t) = ds/dt bzw. v(t) = dr/dt. Die zweite Ableitung liefert die Beschleunigung: a(t) = dv/dt = d^2s/dt^2 oder d^2r/dt^2. Umgekehrt lässt sich eine Positionsfunktion oft durch Integration der Geschwindigkeit gewinnen: s(t) = s0 + ∫_{t0}^{t} v(τ) dτ bzw. r(t) = r0 + ∫_{t0}^{t} v(τ) dτ. Wird die Beschleunigung a(t) gegeben, folgt v(t) = v0 + ∫_{t0}^{t} a(τ) dτ und r(t) entsprechend.

Typische spezielle Fälle sind eindimensionale Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit, x(t) = x0 + v0 (t − t0), und mit konstanter Beschleunigung, x(t) = x0 + v0 (t − t0) + ½ a (t − t0)^2. In der Mehrdimensionalität ist r(t) ein Ortsvektor; Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren.

Anwendungen der Positionsfunktion finden sich in der Mechanik, Robotik, Animation und Astronomie. Wichtige Konzepte sind die Trajektorie, Weglänge und Displacement, die sich aus der jeweiligen Formen der Positions- und Geschwindigkeitsfunktionen ableiten.