Poissonmodellertype

Poissonmodellertype er en samlebetegnelse for statistiske modeller som antar at responsvariabelen Y følger en Poisson-fordeling, vanligvis brukt for telledata. I disse modellene er forventningen til Y gitt dine covariater X, ofte formulert gjennom en link-funksjon, slik at μi = E[Yi | Xi] blir funksjon av Xi. Den vanligste konfigurasjonen er Poisson-regresjon i en generalisert lineær modell (GLM), hvor log-linken brukes: log(μi) = Xiβ, slik at μi = exp(Xiβ).

Matematisk settes sannsynligheten for observerte tell på hvert datapunkt i ut fra Poisson-fordelingen: Yi ~ Poisson(μi). Kjent varians være lik middelverdien (μi) i Poisson-modeller (kalles likviditas/ekspansjonsegenskap). Estimering skjer ofte med maksimal sannsynlighet (MLE). I GLM-rammeverket brukes iterativ væket minimumsmetode (IRLS) for å finne β. Poissonmodellertype er dermed en del av eksponentialfamilien, med naturlig parameter η = log μ og sufficient statistic Yi.

Antakelser og begrensninger inkluderer at telledataene er uavhengige gitt covariatene, og at variansen er lik middelverdien (ingen overdispersion). Ved overdispersion eller underdispersion kan andre tilnærminger være mer passende, som negativ binomial, quasi-Poisson eller zero-inflated Poisson-modeller.

Vanlige bruksområder er modellering av hendelser per tidsenhet eller areal, for eksempel sykdomstilfeller, kriminalitet, trafikkulykker eller kundesamarbeidsteller. Faglitteraturen understreker også koblingen til Poisson-prosessen: antall hendelser i et fast tids- eller romintervall følger ofte en Poissonfordeling, der intensiteten kan avhenge av covariater.

Poissonmodellertype danner grunnlaget for grunnleggende tellemodellering og utvider seg til mer komplekse modeller med blandede effekter og utvidelser ved behov.