Poissonfordelingen

Poissonfordelingen er en diskret sannsynlighetsfordeling som beskriver antall hendelser som inntreffer i et fast tidsintervall eller i et avgrenset område, når hendelsene skjer med en konstant gjennomsnittlig hastighet og uavhengig av hverandre. Den brukes ofte til å modellere tellinger av sjeldne eller uavhengige hendelser i et gitt område eller tidsrom.

Sannsynligheten for at X er lik k er P(X=k) = e^{-λ} λ^k / k!, for k = 0,1,2,... Her er λ forventet antall hendelser i intervallet, dvs. gjennomsnittlig hastighet multiplisert med lengden av intervallet. Forventningen og variansen er begge lik λ: E[X] = λ, Var(X) = λ.

Poissonfordelingen kan oppstå som grensefordelingen for binomialfordelingen når antall muligheter blir stort og sannsynligheten for en hendelse blir liten, slik at np = λ holdes konstant. Den er også en nøkkelfordeling i Poissonprosessen: antall hendelser i et gitt tidsrom følger en Poisson-fordeling med parameter λt hvis λ er hendelseshastigheten. Mellom hendelsene i en Poissonprosess er intervallene eksponentielt fordelt med parameter λ.

Bruksområder inkluderer modellering av antall samtaler per time, ankomster til en server, trafikkulykker per dag og antall defekter i en produksjonsprosess. Parameteren λ estimeres ofte som gjennomsnittet av observerte tellinger i intervallene. I regresjonsanalyse brukes Poissonregresjon for tellingdata.