binomialfordelingen

Binomialfordelingen beskriver antallet af succeser i et fast antal uafhængige Bernoulli-forsøg, hvor hvert forsøg har sandsynligheden p for succes og 1-p for fiasko. Lad X være antallet af succeser i n forsøg. X følger binomialfordelingen med parametre n og p, og støtten er k = 0, 1, ..., n.

Sandsynlighedsfordelingen er givet ved P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}, hvor C(n, k) er en binomialkoefficient. Forventningen er E[X] = np og variansen er Var(X) = np(1-p). Den kumulative fordelingsfunktion er F(k) = P(X ≤ k) = sum_{i=0}^k C(n,i) p^i (1-p)^{n-i}.

Binomialfordelingen har også en momentgenererende funktion M(t) = (1 - p + p e^t)^n. For 0 < p < 1 er fordelingen normalt set unimodal (med en top omkring np); hvis p = 0 eller p = 1 er den degenerate.

Afhængigheder og tilnærmelser: Når n er stort kan man ofte anvende normaltilnærmelse med middelværdi np og varians np(1-p), særligt når både np og n(1-p) er store. En Poisson-tilnærmelse er passende, hvis n er stort og p er lille med λ = np.

Anvendelser og estimation: Binomialfordelingen anvendes til at modellere antallet af succeser i gentagne, uafhængige forsøg, f.eks. kvalitetskontrol, genetik, spørgeskemaundersøgelser og afprøvning af tællinger. Den mest almindelige estimator for p er p̂ = X/n, og fordelingsparametrene kan udnyttes til konfidensintervaller og tests om andelen.