Pfadnotationen

Pfadnotationen bezeichnet in der Mathematik und Informatik die Notationen, mit denen Pfade in Strukturen wie Graphen, topologischen Räumen oder Übergangssystemen beschrieben werden. Sie fassen die Abfolge von Knoten, Kanten oder Zuständen zusammen und geben deren Verbindungseigenschaften formell wieder.

In der Graphentheorie wird ein Pfad P von einem Startknoten s nach einem Endknoten t üblicherweise als Folge von Knoten v0, v1, ..., vn beschrieben, wobei aufeinanderfolgende Kanten existieren. Oft wird P auch als P = ⟨v0, v1, ..., vn⟩ oder als P = v0 e1 v1 e2 … en vn notiert. Bei gerichteten Graphen gelten die gerichteten Kanten, und zwischen Knoten können Wiederholungen auftreten (Pfad vs. Wandering). Die Länge eines Pfades ist häufig die Zahl der Kanten, |P| = n.

In der Topologie bezeichnet ein Pfad in einem topologischen Raum X eine stetige Abbildung α von dem Intervall I = [0,1] nach X mit α(0) = x0 und α(1) = x1. Pfadverkettung α * β und der Umkehrpfad α^{-1} sind zentrale Operationen; Pfade dienen unter anderem zur Definition von Homotopieklassen und zum Bau des Fundamentalgruppenkonzepts.

Im Automaten- oder formalen Sprachen-Kontext entspricht ein Pfad in einem beschrifteten gerichteten Graphen oft der Ausführung, die ein Wort w ∈ Σ* über die Kantenlabels bildet. Solche Pfade charakterisieren erreichbare Zustände, akzeptierte Sprachen oder Ausführungen von Systemen.

Hinweis: Pfadnotationen variieren je nach Autor und Kontext. Die gleiche Struktur kann unterschiedliche Schreibweisen verwenden (z. B. ⟨v0,...,vn⟩, [v0,...,vn] oder P = v0 e1 v1 ...). Eine klare Definition im jeweiligen Kontext ist daher ratsam.