PerronFrobeniustheorie

Die Perron-Frobenius-Theorie befasst sich mit den Eigenwerten und Eigenvektoren nichtnegativer Matrizen, insbesondere irreduzibler oder primitiver Matrizen. Sie liefert zentrale Aussagen über das Spektrum solcher Matrizen und über die Struktur der zugehörigen Vektoren.

Der Kern der Theorie ist der Perron-Wert: Für eine reale n×n-Matrix A mit Einträgen ≥ 0 existiert der Spektralradius ρ(A) als Eigenwert von A, dessen Multiplizität mindestens 1 ist. Zudem lässt sich ein Eigenvektor mit nichtnegativen bzw. positiven Komponenten finden. Bei irreduzibler Matrix A ist dieser Perron-Eigenwert eindeutig (einfach) und der zugehörige Eigenvektor besitzt strikt positive Komponenten. Ferner liegen alle übrigen Eigenwerte in einem Umkreis des Komplexen mit Modulus ≤ ρ(A), und falls A irreduzibel ist, gilt eine stärkere Schranke für die Beträge der restlichen Eigenwerte.

Für stochastische Matrizen, bei denen jede Spalte oder Zeile eine Summe von 1 ergibt, entspricht der Perron-Wert typischerweise 1, und der zugehörige Eigenvektor liefert langfristige Verteilungen. Wenn die Matrix zusätzlich primitv ist, konvergieren Potenzen von A gegen eine Projektion auf den Perron-Eigenraum, was Anwendungen in Markov-Ketten und dynamischen Systemen erleichtert.

Erweiterungen umfassen nichtnegative, ggf. symmetrische oder komplexe Matrizen, sowie Verallgemeinerungen auf Graphen, Matrixfunktionen und erweiterte Resultate über die Einzigartigkeit und Positivität der Perron-Vektoren. Die Theorie findet breite Anwendungen in Wirtschaft, Ökologie, Netzwerkanalyse und.stochastischen Modellen.