Parametriseringen

Parametriseringen är representationen av en geometrisk figur eller ett område genom en eller flera parametrar. I plan kurvor används en parametrisering ofta som en vektorvärd funktion γ: I → R^2, t ↦ (x(t), y(t)). För ytor används en karta X: U ⊂ R^2 → R^3, (u,v) ↦ (x(u,v), y(u,v), z(u,v)). Parametriseringar kan vara kontinuerliga, differentiabla eller smidiga, och en parametrisering sägs vara regulär om de partiella derivatorna X_u och X_v är linjärt oberoende (X_u × X_v ≠ 0).

Exempelvis kan linjer parameteriseras som r(t) = (1 − t, t) för t i [0,1], eller cirklar som r(t) = (cos t, sin t) för t i [0, 2π). För ytor används ofta parametriseringar som X(θ, φ) = (sin φ cos θ, sin φ sin θ, cos φ) i sfäriska koordinater. En annan vanlig yta är en buktad yta där varje punkt beräknas från parametrarna (u,v).

Parametriseringar ger en enkel väg att beskriva objekt utan att ange implicit form. De möjliggör beräkningar av längder, areor och volymer genom Jacobianer, till exempel dA = |X_u × X_v| du dv för ytor och ds längs kurvor via |γ′(t)| dt. Reparametrisering innebär att byta parameter t mot en ny monotont skiftad funktion φ(t); den geometriska figuren förblir densamma, men parametrarna ändras.

Inom tillämpningar som datorgrafik och geometri används ofta parametriseringar för att beskriva kurvor och ytor, samt för att underlätta numeriska beräkningar, som rendering, texturering och flödes- eller deformitetsberäkningar.