Overflategeometri

Overflategeometri er grenen av geometrien som studerer egenskaper ved flater i det tredimensjonale rommet. En overflate kan beskrives lokalt ved en parametrisering r(u,v) som tilordner hvert punkt i et område av planet til en posisjon i R^3. Noen overflater kan beskrives globalt, mens andre bare lokalt. Vanlige eksempler er planflater, kuleflater, sylindre og torus.

Viktige begreper i differentialgeometri for overflater er tangentplan, tangentvektorfelt og normalvektor. Den første fundamentale formen gir lengde- og vinkelmål på overflaten, mens den andre fundamentale formen kobler krumning til overflaten via normalvektoren. Gjennom disse formene kan man beregne flateområde og kurver på overflaten. Gaussisk krumning K er produktet av hovedkrumnene og er en indre egenskap; ifølge Gauss’ teorem Egregium avhenger den ikke av hvordan overflaten bøyes i rommet.

Overflater klassifiseres ofte etter krumnings- og arealegenskaper. Utviklingsflater kan legges ut til en plan flate uten å strekkes eller bøyes. Minimalflater har middelkrumning lik null. Andre typer inkluderer regulære flater og generelle flater med varierende krumning. Eksempler er planflater, kuleflater, sylindre og torus, hver med karakteristiske første og andre fundamentale former.

Overflategeometri har anvendelser i datagrafikk og visualisering, arkitektur og design, geodesi, mekanikk og biomedisin, hvor forståelsen av flateegenskaper som areal, krumning og normalretning er viktig for modellering, analyse og simulering.