Ortogonaalisista

Ortogonaalisista viittaa matemaattisessa kontekstissa käsitteisiin, joissa kahden tai useamman objektin sisätulo on nolla. Tämä ominaisuus esiintyy erityisesti vektori- ja funktiontason tiloissa, joissa sisätulo määrittelee kulman ja etäisyyden objektien välillä. Vektorijoukko on ortogonaalinen, kun kaikkien erillisten vektorien pistetulo on nolla.

Ortonormaalijoukko on erityinen ortogonaalinen joukko, jossa jokainen vektori on yksikkömitallinen. Esimerkkinä R^n:n standardi kanta e1, e2, ..., en on ortonormaali. Ortogonaalisuutta voidaan tarkastella myös alijoukoissa: kokonaisuus V ja sen ortogonaalikomplimentti V⊥ muodostavat tilan, jossa V:n ja sen komplementin kaikki vektorit ovat toisilleen pistetuloltaan nollia.

Käytännön sovelluksia ovat projekteeraus koordinaatistoon, pienentäminen least squares -ongelmissa sekä joukkojen ja tilojen erottelu. Gram–Schmidt-menetelmä on yksi tapa muuntaa minkä tahansa vektorisarjan ortogonaaliseksi (ja tarvittaessa ortonormaaliiksi) pohjaksi. Ortogonaalisuus on keskeinen myös signaali- ja kuva-alan sovelluksissa, kuten Fourier-sarjoissa ja ortogonaalisissa polynomeissa, sekä lineaarisessa algebrassa matristein—esimerkiksi ortogonaalinen matriisi A täyttää A^T A = I ja säilyttää pistetulot sekä etäisyydet.

Lyhyesti: ortogonaalisuus ja siihen liittyvät käsitteet tarjoavat työkalut koordinaatistojen, projektioiden ja optimoinnin ongelmien käsittelyyn monissa matematiikan ja sovellusten osa-alueissa.