Vektorijoukko

Vektorijoukko tarkoittaa joukkoa vektoreita, jotka kuuluvat yhteen vektoriavaruuteen. Vektoriavaruus on joukko V, jossa on määritelty yhteenlasku ja skalaari kertominen sekä ominaisuudet lineaarisuudesta; kenttä F määrittelee käytettävät skaalaukset. Esimerkkeinä ovat R^n ja C^n.

Joukko S V:ssä määrittää sen kantaman eli span(S), joka on kaikkien S:n vektorien lineaaristen yhdistelmien joukko. Jos span(S) = V, S on kantava joukko ja kantaa koko vektoriavaruuden V.

Lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus: Joukko S on lineaarisesti riippumaton, jos a1 v1 + ... + ak vk = 0 merkitsee, että kaikki ai = 0. Muussa tapauksessa S on lineaarisesti riippuva.

Kanta ja dimensio: Kanta on joukko, joka on sekä lineaarisesti riippumaton että kantaa V:n. Tällöin V:n dimensio on tämän kannan pituus. Jos V:llä on rajallinen kanta, V:llä on rajallinen dimensio; muuten dimensio on ääretön.

Esimerkkejä: R^3:n standardikanta on {e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)}, joka on lineaarisesti riippumaton ja kantaa koko avaruuden. Joukko { (1,0,0), (0,1,0) } kantaa z = 0 -tason, mutta ei koko R^3:tta.

Vektorijoukko on keskeinen käsite lineaarialgebrassa: sen avulla voidaan määritellä ja ymmärtää subavaruuksia, spanningia, riippuvuuksia sekä vektoriavaruuden dimensio.