Ortonormaalijoukko

Ortonormaalijoukko on joukko vektoreita lineaariavaruudessa, joka täyttää kaksi ehtoa: ortogonaalisuuden ja normalisoinnin. Ensinnäkin, kaikki joukon vektorit ovat pareittain ortogonaalisia, mikä tarkoittaa, että niiden sisätulo on nolla. Toisin sanoen, jos v ja w ovat kaksi eri vektoria ortonormaalijoukossa, niin niiden sisätulo <v, w> = 0. Tämä ominaisuus kuvaa sitä, että vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Toiseksi, jokainen joukon vektori on normiltaan yksi, eli sen pituus on yksi. Vektorin v normi ||v|| lasketaan sen sisätulon neliöjuurena: ||v|| = sqrt(<v, v>).

Ortonormaalijoukot ovat merkittäviä lineaarialgebrassa ja muilla matematiikan aloilla. Niillä on useita hyödyllisiä ominaisuuksia. Esimerkiksi, jos meillä on ortonormaalijoukko, joka muodostaa kannan lineaariavaruudelle, voimme helposti esittää minkä tahansa vektorin lineaariyhdistelmänä joukon vektoreista käyttäen projektioita. Tämä yksinkertaistaa merkittävästi laskutoimituksia. Lisäksi ortonormaalikannat ovat erityisen hyödyllisiä muunnosten, kutenFourier-muunnoksen, yhteydessä. Yleisissä lineaariavaruuksissa ei aina ole olemassa ortonormaalikantaa, mutta Gram-Schmidt-ortogonalisointiprosessin avulla voidaan aina muodostaa ortonormaali kanta mistä tahansa lineaarisesti riippumattomasta joukosta. Ortonormaalijoukkojen käsite on keskeinen muun muassa funktionaalianalyysissä ja kvanttimekaniikassa.