ortonormaalijoukossa

An ortonormaalijoukko on matriisialgebrassa ja vektoriavaruuksissa käytetty käsite, joka kuvaa vektoreiden joukkoa, joilla on kaksi tärkeää ominaisuutta: ne ovat sekä ortogonaalisia että normaalisoituja. Ortogonaalisuus tarkoittaa, että joukossa olevien vektoreiden väliset kulmat ovat suoria, eli niiden pistetulo on nolla, kun vektorit ovat erisuuntaisia. Normaalisoitu tarkoittaa, että jokaisen vektorin pituus eli normi on yhtä suuri kuin yksi.

Ortonormaalijoukko muodostuu siis vektoreista, joiden väliset kulmat ovat 90 astetta ja joiden pituus on 1. Tällainen joukko on erityisen tärkeä lineaarialgebrassa, koska se helpottaa monien laskutoimitusten suorittamista. Esimerkiksi ortonormaalijoukko muodostaa perustan ortonormaalille perusvektoreille, jotka ovat usein käytössä koordinaattijärjestelmien määrittelyssä.

Ortonormaalijoukko voidaan esittää matriisina, jossa jokainen sarake on normaalisoitu vektori ja sarakkeet ovat keskenään ortogonaalisia. Tällaista matriisia kutsutaan ortonormaaliksi matriisiksi tai unitääriksi matriisiksi, jos se on neliömatriisi. Ortogonominen matriisi säilyttää vektoreiden pituudet ja kulmat, kun se kerrotaan vektoreihin, mikä tekee siitä arvokkaan työkalun esimerkiksi kuvioiden ja muiden geometristen objektien muunnoksissa.

Ortonormaalijoukkoja käytetään laajalti fysiikassa, signaalinkäsittelyssä ja tietokonegrafiikassa. Esimerkiksi Fourier-analyseissa ja kvanttimekaniikassa ortonormaalijoukkoja käytetään perusfunktioiden tai tilojen määrittämiseen. Niiden ominaisuudet helpottavat myös laskennallista vakauden varmistamista ja vähentävät virheiden syntymistä laskutoimituksissa.