funktionaalianalyysissä

Funktionaalianalyysi on matematiikan ala, joka tutkii funktioavaruuksia ja operaatioita niillä. Se yhdistää useita aiemmin kehittyneitä matemaattisia käsitteitä, kuten lineaarialgebraa ja differentiaalilaskentaa, ja yleistää niitä ääretönulotteisiin avaruuksiin. Keskeisiä kohteita funktionaalianalyysissä ovat normiavaruudet, joissa etäisyys määritellään normin avulla, ja täydelliset normiavaruudet, joita kutsutaan Banacin avaruuksiksi. Hilbertin avaruudet ovat erikoistapaus Banacin avaruuksista, joissa on määritelty sisätulo, mikä mahdollistaa geometristen käsitteiden, kuten ortogonaalisuuden, käytön.

Funktionaalianalyysi tutkii myös lineaarisia operaattoreita funktioavaruuksien välillä. Tällaisia operaattoreita ovat esimerkiksi differentiaalioperaattorit ja integraalioperaattorit. Näiden operaattoreiden ominaisuuksien, kuten jatkuvuuden ja rajoittuneisuuden, ymmärtäminen on keskeistä. Tärkeitä tuloksia funktionaalianalyysissä ovat esimerkiksi Hahnin–Banachin lause, avoimen kuvauksen lause ja suljetun graafin lause, jotka antavat syvällistä tietoa lineaarisista operaattoreista.

Alan sovellukset ovat laajat. Se on perustavanlaatuinen työkalu kvanttimekaniikassa, jossa tilat kuvataan Hilbertin avaruuksien vektoreilla ja fysikaaliset suureet operaattoreilla. Lisäksi funktionaalianalyysillä on merkitystä differentiaaliyhtälöiden teoriassa, signaalinkäsittelyssä, numeerisessa matematiikassa ja monilla muilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Se tarjoaa abstraktin ja yleisen viitekehyksen monien matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen.