vektoreilla

Vektoreilla tarkoitetaan matematiikassa ja fysiikassa suureita, joilla on sekä suuruus että suunta. Vektorit kuvaavat esimerkiksi siirtymää, nopeutta tai voimaa. Ne eroavat skalaareista, jotka ovat määrällisiä arvoja ilman suuntaa. Vektorit ovat keskeinen käsite geometrisessa ja algebrallisessa yhteydessä.

Vektori esitetään tavallisesti koordinaattien n-tuotteena: v = (v1, v2, ..., vn) R^n. Vektorin operaatioita ovat sekä vektorin yhteenlasku ja skalaari kertominen: v + w = (v1+w1, ..., vn+wn) ja a v = (a v1, ..., a vn). Pistetulo (dot product) v · w = v1 w1 + v2 w2 + ... + vn wn antaa mittauksen yhteydestä kahden vektorin välillä. Pituus tai normi on ||v|| = sqrt(v1^2 + v2^2 + ... + vn^2). Yksikkövektori on v/||v||, kun v ≠ 0.

Etäisyys, kulmat ja suuntien suhteet ovat keskeisiä käyttöjä varten. Vektorit ovat samaan suuntaan, jos ja vain jos v = α w, α > 0. Kulma näiden vektoreiden välillä voidaan laskea cos θ = (v · w) / (||v|| ||w||). Näkökulma ja pituudet mahdollistavat geometrisen tulkinnan ja trigonometriset sovellukset.

Vektorit muodostavat vektoritilan, jossa lasketaan lineaarisia yhdistelmiä ja tarkastellaan dimensioita. Vektorit sijaitsevat usein R^n:ssa tai niiden alijoukoissa, ja niiden ominaisuuksia kuvaavat sekä koordinaatti­tason geometria että lineaarialgebraan liittyvät käsitteet. Käyttökohteita ovat mekaniikka, fysiikka, tietokonegrafiikka, robotiikka ja tilastotiede, joissa suureilla on sekä määriä että suuntaa.